現在利用している通信会社（NTT西日本等）からの請求はなくなるのですか?

いいえ。
現在利用している一般加入電話の料金（基本料金・その他ご契約されているサービス〔フレッツサービス等〕の料金）は請求されます。
また、IP電話サービス対象外の電話番号へ発信した場合は、通常の一般加入電話からの発信となるため、その通話料金はNTT等から請求されます。